一、概率与统计
1、概率；这里用道题来说明这个数学问题（用WORD把这些烦琐的公式打出来太麻烦了，因为公司不重视品质管理，所以部门连个文员MM都没有，最后我只好使用CORELDRAW做的公式粘贴过来，如果你的电脑系统比较慢，需要耐心等待一会公式才会显示来，不过别着急，好东西往往是最后才出来的嘛！）。
题一、从含有D个不良品的N个产品中随机取出n个产品（做不放回抽样），求取出d个不良品的概率是多少？
解：典型的超几何分布例题，计算公式如下（不要烦人的问我为什么是这样的公式计算，我虽然理解了一些，解释起来非常麻烦，别怪我不够意思，是你自己上学的时候只顾早恋，没有学习造成的，骂自己吧！）：
超几何分布：（最基本的了）：
最精确的计算，适用比较小的数据
其中： N —— 产品批量 D —— N中的不合格数
d —— n中的合格数 n —— 抽样数
另外的概率计算的常用算法还有：
二项分布：（最常用的了，是超几何分布的极限形式。用于具备计件值特征的质量分布研究）：
只是估算，当N≥10n后才比较准确
其中： n —— 样本大小 d —— n中的不合格数
ρ—— 产品不合格率
泊松分布：（电子产品的使用还没有使用过，只是在学习的时候玩过一些题目，我也使用没有经验）
具有计点计算特征的质量特性值
其中： λ—— n ρ n —— 样本的大小
ρ—— 单位不合格率(缺陷率) e = 2.718281
2、分布；各种随机情况，常见的分布有：二项分布、正态分布、泊松分布等，分位数的意义和用法也需要掌握；较典型的题目为：
题三、要求电阻器的值为80+/-4欧姆；从某次生产中随机抽样发现：电阻器的阻值服从正态分布，其均值80.8欧姆、标准差1.3欧姆，求此次生产中不合格品率。
公式好麻烦的，而且还要查表计算，555555555555，我懒得写了，反正我也没有做过电阻。
3、置信区间：我们根据取得样品的参数计算出产品相应的参数，这个“计算值”到底跟产品的“真实值”有什么关系？一般这样去描述这两个量：把“计算值”扩充成“计算区间”、然后描述“真实值有多大的可能会落在这个计算区间里”，从统计学上看，就是“估计参数”的“置信区间”；较典型的题目为：
题四、设某物理量服从正态分布，从中取出四个量，测量/计算后求得四个量的平均值为8.34，四个量的标准差为0.03；求平均值在95%的置信区间。
解：因为只知道此物理量服从正态分布，不知道这个正态分布对应的标准差，所以只能用样品的标准差来代替原物理量的标准差。这时，样品的平均值的分布就服从t分布。4个样品、95%的置信区间，对应的t0.975(3)＝3.182；所以平均值的置信区间为：
8.34±3.182×（0.03/2）=[8.292,8.388]
这说明，此物理量的总体平均值有95%的可能落在8.292和8.388之间。
二、可靠性常用的分布
1、指数分布；第一章里提到浴盒曲线对应的指数分布为F(t)＝1-e-t；如何得到这一分布？
设产品在t时间内总的失效率F(t)，则：
在t时刻产品的存活率R(t)=1-F(t)；
在t时刻的失效为t时间内的失效率的导数、即f(t)=F’(t)；
在t时刻的失效率为t时刻的失效比t时刻的存活率、即f(t)/R(t)。
根据浴盆曲线，当产品在稳定失效阶段时任意时刻的失效率为λ。
综上，即得到等式：λ＝f(t)/R(t)=F’(t)/(1-F(t))；
解此微分方程得到一个特解：F(t)＝1－e-t；
所以R(t)=e-t，这就是指数分布；
2、威布尔分布；与指数分布相比，只是变量λ不一样。威布尔分布的F(t)=1-e^(-t/a)^b；当b＝1时，F(t)=1-e^(-t/a)，这也就是指数分布；我们威布尔分布来看看其它参数：
R(t)＝1-F(t)=e^(-t/a)^b；
f(t)＝F`(t)=(b/t)*(t/a)^b*e^(-t/a)^b；
失效率＝f(t)/R(t)＝(b/t)*(t/a)^b；
3、对数正态分布；顾名思义，说明产品在t时间内的失效率与t服从对数正态分布，也就是说F(t)与ln(t)成正态分布。标准表达式为：F(t)=Φ((lnt-ln(T50))/δ)；
根据各种分布，都可以方便地求出产品MTBF。
要求出产品的MTBF就必须找到样品的失效时间，这样我们必须取出一定的样品做特定的测试、记录样品的失效时间，然后计算产品的MTBF。在开始计算MTBF之前，我们先插述各种测试的筛选强度，也就是此种测试能发现样品存在缺陷的可能性。
三、筛选强度
在进行环境应力筛选设计时，要对所设计的方案进行强度计算。这样才能更有效的析出产品缺陷。在典型筛选应力选择时，一般恒定高温筛选用于元器件级，温度循环用于板级以上产品；温度循环的筛选强度明显高于恒定高温筛选。下面介绍一些筛选强度（SS）的数学模型。
1、恒定高温筛选强度
SS=1-exp [-0.0017(R+0.6)0.6t]
式中：R—高温与室温(一般取25℃)的差值；t—恒定高温持续时间(h)；例：用85℃对某一元器件进行48H的筛选，则其筛选强度为:44.5% =1- EXP(-0.0017*((85+0.6)^0.6)*48)；
2、温度循环的筛选强度
SS=1-exp{-0.0017(R+0.6)0.6[Ln(e+v)]3N}
式中：R—温度循环的变化范围（℃）；V—温变率（℃/min）；N—温度循环次数；例：用60℃到－40℃以10℃/min的速率做15次循环（每个循环20min，15个共计5H）则对应的筛选强度为：99.87%=1-EXP(-0.0017*((100+0.6)^0.6)*((ln(2.718+10))^3)*15)；
3、随机振动的筛选强度
SS=1-exp{-0.0046(Grms)1.71·t}
式中：t—为振动时间（min）；Grms---单位G； （这个地方我也没有找到资料）。
四、MTBF的计算
1、基本MTBF的测试
在实际工作过程中，很多时候并不需要精确在知道某个产品的MTBF，只需要知道是否可以接受此产品。这时，只需要对产品进行摸拟运行测试，当产品通过了测试时，就认为产品达到了要求的MTBF，可以接受此产品。
如何确定产品应该进行什么样的测试，也就是我们应该用多少样品进行多长时间的测试？根据MTBF（平均失效间隔时间）的定义，从“平均”这一个看来，失效的次数越多计算值就越能代表“平均值”，当然失效的次数越多对应的总测试时间也就越长；一般情况下要求：只要测试时间允许，失效的次数就应该取到尽可能地多。
下面用一个例子来说明测试条件的确定方法。
题五：某种产品，要求在90%的信心度下MTBF为2000H，如何判定此产品的可靠性是否达到了规定的要求？
可以转化为判定此产品是否能通过规定时间的模拟运行测试，其关键是要找出测试时间；测试时间＝A×MTBF，A这个因子与“在这段时间内允许失效的次数”和“90%的信心度”有关系。根据已经成熟的体系，直接代用公式：
A＝0.5*X2（1-a，2(r+1)）
X2（1-a，2(r+1)）是自由度为2(r+1)的X平方分布的1-a的分位数；
a 是要求的信心度，为90%； r 是允许的失效数，由你自己决定；
此分布值可以通过EXCEL来计算，在EXCEL中对应的函数为CHIINV；
如允许失效1次时，A=0.5*CHIINV(1-0.9,2*2)=0.5*CHIINV(0.1,4)＝0.5*7.78＝3.89；所以应该测试的时间为：3.89×2000＝7780H。也就是当设备运行7780H是只出现一次失效就认为此产品达到了要求的可靠性。
7780H是324天（7780/24＝324），快一年了，做一次测试花一年的时间？太长！我们可用这样去调整：①增加测试的总样品数；7780从统计上看，准确地说是7780台时、它是“机台×时间”这样一个量，也就是所有样机的测试时间总和；如果测试中有50台样机，则只需要测试155.6H；如果有100台样机，则只需要测试到77.8H（强烈建议在MTBF的测试中采用尽可能多的样品数）；②减少允许失效的次数；允许失效的次数为0时，同上计算后得到测试时间为4605台时（一般不建议采用此种方式来缩短测试时间，这样会增大测试的误差率）。
对于价格较低、数量较多的产品（如各种元器件、各种家用电器等），用上面介绍的方法，可以很方便地进行测试；但当产品的价格较高、MTBF较高的产品如何测试？
题六：某种产品，要求在90%的信心度下MTBF为20000H，因单价较贵，只能提供10台左右的产品做测试，请问如何判定此产品的可靠性是否达到规定的要求？
还是转化为测试。即使有10台产品全部用于测试，20000H的MTBF也需要测2000H左右，这个时间太长，应该怎么办？
此时一般用到加速测试。对一般电子产品而言，多用高热加速，有时也用高湿高湿加速。根据加速模型（Arrhenius Model），得知加速因子的表达式为：
AF=exp{(Ea/k)*[(1/Tu)-(1/Ts)]+ (RHu^n-RHs^n)}
Ea为激活能（eV）,k为玻尔兹曼常数且k=8.6*10E-5eV/K。T为绝对温度、RH指相对湿度（单位％）、下标u指常态、下标s指加速状态（如RHu^n指常态下相对湿度的n次方），一般情况下n取2。
Ea根据原材料的不同，有不同的取值，一般情况下：
氧化膜破坏 0.3Ev
离子性（SiO2中Na离子漂移） 1.0—1.4Ev
离子性（Si-SiO2界面的慢陷阱） 1.0eV
由于电迁移而断线 0.6eV
铝腐蚀 0.6—0.9eV
金属间化合物生长 0.5—0.7eV
根据产品的特性，取Ea为0.6eV，则在75℃、85%RH下做测试1h，相当于在室温（25℃、75%RH）的加速倍数为：
AF＝EXP(0.6*((1/298)-(1/348))*10^5/8.6+(0.85^2-0.75^2))＝34
若充许一次失效，在90%的置信度下，需要测试的时间为：Ttest=A*MTBF ，A的计算同上用EXCEL计算，即：A=0.5*CHIINV(1-0.9,2*2)=0.5*CHIINV(0.1,4)＝0.5*7.78＝3.89；
所以要求的室温下的测试时间为：Tu=3.89*20000＝77800H；
换算后，在高温下的测试时间为：Ta＝778000/AF＝2288Hrs；
最后，测试方案就是：将10台设备在75℃、85%的下进行228.8Hrs的测试，如果失效次数小于或等于一次，就认为此产品的MTBF达到了要求。
还有一种情况就是，不知道Ea，公司内部以前没有数据、行业也没有推荐使用的具体值。此时就只能近似估计。具体方法如下：在三个高温（t1,t2,t3, t1 实际工作中，没有那么样品，只能用最少的样品数：9台（每个温度下各三台）。具体做法是：
a.取三台设备在高温T下运行，观察产品的失效情况。若产品较快失效，则取t1＝T，t2＝t1－15℃，(1/t3)-(1/t1)＝2((1/t2)-(1/t1))；若产品长时间没有失效，则取t3＝T，t2=t3＋15℃，(1/t3)-(1/t1)＝2((1/t2)-(1/t1))。
b．根据三个温度点对应的产品寿命时间，计算出此产品的Ea。
上面的方法对元器件都比较适用，对一些系统，可能就不太合适了。
2、基本MTBF的计算
因为MTBF是一个统计值，通过取样、测试、计算后得到的值与真实值有一定的差异；而且具体到每个产品时，其失效间隔时间与MTBF又有一定的差异，又有置信度的概念，这样您的计算值与客户的要求高出一些（如多出1个数量级），就可以接受。如客户要求产品的MTTF为20年，我们计算出来为100年，是可以接受的，如果计算出来刚好是20年，反而让人觉得是不是用不到20年。如何计算产品的MTBF，这里给出两个我用到的方法。
一个日本客户要求我们的“光隔离器”（一种用在光路上的不可修复的元器件，只能让光顺行而不能逆行，相当于电路上的二极管）的产品寿命为20年，我们进行了如下动作。
第一步：找到计算公式；我们使用Bellcore推荐的计算公式：MTBF＝Ttot/( N*r)；
说明：N为失效数（当没有产品失效时N取1）；r为对应的系数（取值与失效数与置信度有关）；
Ttot为总运行时间；
第二步：找到可靠性测试的数据；我们直接采用我们做过的“高温高湿贮存”的结果：11个样品在85%RH、85℃下贮存2000Hrs时没有失效发生；
第三步：找到对应的激活能（Ea）；我们采用Bellcore推荐的Ea，为0.8eV；
第四步：计算在温室下的运行时间；
①因为没有样品失效，所以N＝1；
②r取0.92（对应60%的置信度）或2.30（对应90%的置信度）；
③光隔离器在室温下运行，相当于40℃/85%的贮存；
④Ea为0.8eV，计算得到从85℃/85%到40℃/85%的加速倍数为42；
⑤60%的置信度下，MTBF＝Ttot/(N*r)＝（11*2000*42）/(1*0.92),结果即为114年；
90%的置信度下，MTBF＝Ttot/(N*r)＝（11*2000*41.6）/(1*2.30),结果即为45年；
从上面的计算可以看出，此计算用到了两个条件：进行了高温高湿测试、产品对应的激活能取0.8，这两个条件在Bellcore里、针对光隔离器的文件1221中有推荐使用。很多时候，因为测试时间太长（如1000H、5000H等）没有进行、激活能难以确定用多少才合适，所以不可直接计算，需要进行一些相关的测试。
取9个样品，分三组，分别在85℃、105℃、127℃下运行，运行过种中“在线监测”产品性能（虽然产品本身有很多参数要测试，在我们的测试中取最主要的参数IL监测，光通信业认为当产品的IL变化量超过0.5dB时就认为产品Fail）。实际测试中，产品在127℃下运行很快Fail，当产品在105℃下运行Fail，停止了测试，各种数据如下表：
从上表可以看出：
①在600H时，第二组样品中2个出现Fail，测试停止；
②在127℃时，产品的寿命为400H，即（300＋500＋400）/ 3；
③在105℃时，产品的寿命为895.5H，即（800/0.4467）×0.5；
说明：产品在105℃下800H时，并没有全部失效，不能像127℃那样直接算出，只能用“线性外延”来计算，虽然不是很准确，但可以接受。因为800H时变化0.4467dB，所以变化量达0.5dB时总运行895.5H；
④同理在85℃时，产品的寿命为3870.2H；
⑤将Arrhenius 公式两边取自然对数得到：Ln(Life)＝（Ea/k）*(1/T)；T温度下对应的Life满足上述公式，把②③④三点中的温度和寿命，按（X,Y）的形式，X =1/T、 Y =ln(life)，得到相应的三点（0.002793，8.26126）、（0.002646，6.797407）、（0.002498、5.991465）；
⑥将第⑤步中的三点在EXCEL中作图，将对应的曲线用直线拟合、交显示公式得到直线的斜率为7893.0；也就是(Ea/k)=7893.0，故Ea＝0.68eV；
⑦故产品在常温25℃（对应的1/T=0.003356）时寿命为：（105℃时的寿命）×（105℃对25℃的加速倍数）；当(Ea/k)=7893.0时，105℃对25℃的加速倍数为272。
⑧故25℃时产品寿命为272*895.5/356/24＝27.8 （年）。
⑨故产品失效率为10E9/(272*895.5)=4103 FIT.
上面的计算过程有很多地方可以讨论：
①第一种方法有很多优点：Ea的取值是Bellcore推荐的值（目前整个业界都不会疑问）、数据由11个样品做同一种测试得到（比3个样品更有说服力）、11个样品没有Fail（这说明实际值比计算出来的值还要大，更让人信服）、考虑了置信度；
在第二种方法里：
②样品数据较少，每组只有3个样品，随机性较大；
③中温、低温时产品没有达到寿命时间，以平均值“外延”代替，误差较大；
④取到三个点时，用直线拟合，带来很多误差；
⑤计算25℃度时的寿命，用“85℃时的寿命”与“加速倍数”相乘，而这两个参数都有误差；
但是，在什么都没有（以前的测试数据没有、激活能用多少也没有）的情况下，用上面的计算也算是一种方法，可以用来回复客户，一般客户都不会“较真”。
最后介绍另一种计算方法。此方法是在常温下运行产品，记录每次故障发生的时间，然后套用寿命模型、选择最好的一种来计算。（我没有用过，只好将书上的例子Copy下来）。
在常温下，对100个产品做测试，当出现10次故障时停止测试。10次故障的时间为：268、401、428、695、725、738、824、905、934、1006小时。求此产品的MTBF。
第一步：求F(t)，即产品的累积失效率（CDF）。这里用这样的方法：
①第一次失效的F(1)=(1-0.3)/(100+0.4)＝0.006972；
②第二次失效的F(2)=(2-0.3)/(100+0.4)＝0.016932；
③第三次失效的F(3)=(3-0.3)/(100+0.4)＝0.026892；
其它类推（分子为：失效次数-0.3；分母为：样品数+0.4）。
第二步：求Ln(1/(1-F(t))，即第一步求得的F(t)代入Ln(1/(1-F(t))计算出数据。如：
①第一次失效的Ln(1/(1-F(1))= Ln(1/(1-0.006972)＝0.006997；
②第二次失效的Ln(1/(1-F(1))= Ln(1/(1-0.016932)＝0.017077；
③第三次失效的Ln(1/(1-F(1))= Ln(1/(1-0.026892)＝0.027261；
其它类推；
第三步：套用公式。不同产品有不同的寿命分布模型，如正态分布、威布尔分布等等。
1、套用正态分布；
①根据正态分布公式1－F(t)＝EXP(-λt)，变换后得到：Ln(1/(1-F(t))＝λt；
②将第二步中求出的Ln(1/(1-F(t))作为y，将每个故障发生的时间t作为x，组成坐标点(x,y)，如(0.006997,268)、(0.017077,401)、(0.027261,428)等，将10个点以EXCEL作图；
2、套用威布尔分布；
①由威布尔公式1－F(t)＝EXP(-（t/m）^n)，变换后得到：Log(ln(1/(1-F(t)))＝n*log(t)-n*log(m)；
②将第二步中求出的Ln(1/(1-F(t))作为Y，将每个故障发生的时间t作为X，取y=logY, x=logX,组成坐标点(x,y)，将10个点以EXCEL作图；
3、套用其它分布；方法同上，先找出对应的公式，再变换，再作图；
第四步：观察与计算；查看第三步中作的图。
①找出哪一个图的10个点看起来最有线性关系，并选定“最直”的那一图；
②将“最直”的那个图用直线拟合，找出直线的斜率k、截距b；
③若是正态图最直，则MTBF＝1/k；若是威布尔图最直，则由k,b计算出m,n，MTBF＝m*Γ(1+1/n);
说明：1、此种方法可以较准确地计算出产品在常温下的MTBF。
2、若常温下产品MTBF很长，也可以用这种方法先计算85℃、105℃等高温下的MTBF，再通过计算激活能后计算出常温下产品的MTBF
